【数学】秋田県高校入試の大問4を徹底解説！【2022年度】

△ACEと△BCFにおいて
仮定から、CE$=$CF$\cdots \mathrm{①}$

正三角形は３つの辺が等しい三角形だから、AC$=$BC$\cdots \mathrm{②}$

平行線の錯角は等しいから、$\mathrm{\angle }$ACE$=\mathrm{\angle }$BAC
また、正三角形の３つの角は等しいから、$\mathrm{\angle }$BAC$=\mathrm{\angle }$BCF
よって、$\mathrm{\angle }$ACE$=\mathrm{\angle }$BCF$\cdots \mathrm{②}$

①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△ACE$\equiv$△BCF

・三角形の合同条件を利用します

・正三角形の性質を使って、同じ長さの辺や同じ大きさの角を見つけます

ア：$a+b=9$ ならば，$a=3，b=6$
イ：$a=4，b=5$

「○○ならば××」という命題があったとき、その逆は「××ならば○○」になります。

この問題では「２つの自然数 $a，b$ において，$a=3，b=6$ ならば，$a+b=9$」ということがらを考えているので、逆は「２つの自然数 $a，b$ において，$a+b=9$ ならば，$a=3，b=6$ 」といえます。

次に逆への反例を考えていきましょう。

反例とは、あることがらが成り立たない例のことです。

今回は逆、つまり「２つの自然数 $a，b$ において，$a+b=9$ ならば，$a=3，b=6$ 」が成り立たないことを証明する例を１つ挙げればよいわけです。

$a+b=9$ になる $a=3，b=6$ 以外の $a，b$ の組み合わせを１つ答えれば正解です。

模範解答では $a=2，b=7$ となっていますが、 $a=1，b=8$ 、$a=6，b=3$ なども正解です。

・逆や反例といった言葉の意味を正確に理解しておく必要があります

$17cm$

まずは、問題文からどの辺が一番長いのかを考えます。

辺ABは辺BCより $2cm$ 長く、辺BCは辺CAより $7cm$ 長いとあるので、最も長い辺は辺ABだと分かります。これが、三角形の斜辺にあたります。

ここで斜辺、すなわち辺ABの長さを $x(cm)$ とすると、辺BCは $x-2(cm)$ 、辺CAは $(x-2)-7=x-9(cm)$ と表すことができます。

これをまとめたのが下の図です。

三平方の定理より、AB${}^2=$BC${}^2+$CA${}^2$ という方程式が成り立ちます。

ここに文字を代入して
$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& (x-2{)}^2+(x-9{)}^2\\ x^2& =& (x^2-4x+4)+(x^2-18x+81)\\ x^2& =& 2x^2-22x+85\end{array}$

右辺が０になるように式を整理して
$\begin{array}{rcl}{x}^2-22x+85& =& 0\\ (x-5)(x-17)& =& 0\end{array}$

$x=5$ のとき、辺CAの長さが $x-9=5-9=-4$ と負の数になってしまうため、不適。

よって、答えは $x=17$ となり、求める斜辺の長さは $17cm$ です。

・求めたい長さを $x$ と置いて、他の長さも文字を使って表してみます

・三平方の定理を用いて、辺の長さを求めます