【数学】秋田県高校入試の大問5を徹底解説！【2022年度】

求める直線は、２点A\((-1，1)\)、 B\((2，4)\)を通るので、傾きは、
\(\dfrac{4-1}{2-(-1)}=\dfrac{3}{3}=1\)

したがって、求める直線は \(y=x+b\) と表すことができます。

この直線はA\((-1，1)\)を通るから、先ほどの式に \(x=-1，y=1\) を代入すると、
\(1=-1+b\)

これを解くと、\(b=2\)

よって、求める直線の式は \(y=x+2\) になります。

・２点の座標を使って、グラフの傾きを求めます

・傾きと切片が分かれば、一次関数の直線のグラフを求められます

\(\sqrt5 \ cm\)

まず、下の図のようにグラフに点Cを書き加えて、BとCを結びます。

次に、点Cから \(x\) 軸に対して引いた垂線と、点Bを通る \(y\) 軸に対する垂線との交点をDとおき、直角三角形BCDをつくります。

ここで、△BCDにおいて三平方の定理より、BC\(^2=\)CD\(^2+\)DB\(^2\) が成り立ちます。

最終的に求めたい線分BCの長さは、線分CDと線分DBの長さが分かれば出せそうです。

点Cは、イのグラフ上の点で \(x\) 座標が \(3\) と分かっているので、\(x=3\) をグラフの式 \(y＝\dfrac{2}{3}x^2\) に代入して、
\(y=\dfrac{2}{3} \times 3^2=\dfrac{2}{3} \times 3 \times 3=6\)
これより、点Cの座標は \((3，6)\) となりますね。

次に、点Dの座標も考えてみましょう。
先ほどの図のように、 \(x\) 座標は点C、\(y\) 座標は点Bとそれぞれ同じなので、座標は \((3，4)\) です。

線分CDは、（点Cの \(y\) 座標） ー （点Dの \(y\) 座標） で求められるので、\(6-4=2 \ (cm)\)
同様にして、（線分DBは、点Dの \(x\) 座標 ー 点Bの \(x\) 座標） で求められるので、\(3-2=1 \ (cm)\)

それぞれを、BC\(^2=\)CD\(^2+\)DB\(^2\) に代入して、
BC\(^2=2^2+1^2=4+1=5\)

BC\(\gt 0\) なので、 BC\(=\sqrt5\) となります。

・与えられている情報から、分からない座標を求めます

・三平方の定理を利用して、三角形の辺の長さを出します

\(a = \dfrac{1}{4}\)

問題文にあるように、点Pと点Qを書き加えて

４点を結ぶと、下のような四角形ができあがります。
この面積が \(12cm^2\) になるときの \(a\) の値を求める、というのが今回の問題です。

まず、４つの点の座標を整理しておきましょう。
点Aと点Bはすでに分かっていて、それぞれ \((-1，1)\) と \((2，4)\)

点Pはアのグラフ上にあって、\(x\) 座標が正、\(y\) 座標が \(1\) なので、アの式に代入して、
\(1=x^2\)
\(x \gt 0\) より、\(x=1\) と分かるので、座標は \((1，1)\)

点Qはイのグラフ上にあって、\(x\) 座標は \(-1\) より小さく、\(y\) 座標は \(4\) なので、イの式に代入して、
\(4=ax^2\)
両辺を \(a (\neq 0)\) で割って、右辺と左辺を入れ替えると、
\(x^2=\dfrac{4}{a}\)

\(x \lt 0\) なので、
\(x = -\sqrt{\dfrac{4}{a}}\)
これより、座標は \((-\sqrt{\dfrac{4}{a}}，4)\) と分かります。

座標を整理すると、AとP、BとQの \(y\) 座標がそれぞれ同じことが見えてきます。
このとき、AP// BQ が成り立つので、四角形APBQは台形です。

ここからは、台形の面積の公式「（（上底）\(+\)（下底））\(\times\)（高さ）\(\div\)２」を用いて考えましょう。

上底を辺BQ、下底を辺APとみなします。
辺の長さは、どちらも点の \(x\) 座標の絶対値の和で求めることができます。

点B、点Qの \(x\) 座標は、それぞれ \(2，-\sqrt{\dfrac{4}{a}}\) だから、辺BQは、\(2+\sqrt{\dfrac{4}{a}}(cm)\)

点A、点Pの \(x\) 座標は、それぞれ \(-1，1\) だから、辺APは、\(1+1=2(cm)\)

高さについては、点Aと点Bの \(y\) 座標の差で求められるので、\(4-1=3(cm)\)

これらを台形の面積の公式に代入して、
\(((2+\sqrt{\dfrac{4}{a}})+2) \times 3 \div 2\)

\(=(4+\sqrt{\dfrac{4}{a}}) \times 3 \div 2\)

台形の面積は \(12cm^2\) だから、
\(\begin{eqnarray}
(4+\sqrt{\dfrac{4}{a}}) \times 3 \div 2 &=& 12 \\[5pt]
(4+\sqrt{\dfrac{4}{a}}) \times 3 &=& 24 \\[5pt]
4+\sqrt{\dfrac{4}{a}} &=& 8 \\[5pt]
\sqrt{\dfrac{4}{a}} &=& 4 \\[5pt]
\sqrt{\dfrac{4}{a}} &=& \sqrt{16} \\[5pt]
\dfrac{4}{a} &=& 16 \\[5pt]
4 &=& 16a \\[5pt]
16a &=& 4 \\[5pt]
a &=& \dfrac{\bcancel 4}{\bcancel 16} \\[5pt]
a &=& \dfrac{1}{4} \end{eqnarray}\)

これは、\(0 \lt a \lt 1\) という条件を満たしているので、答えとして適当です。

・問題に合わせて、点や線分を書き加えます

・点の座標を求めた上で、図形の面積を考えます。面積を求める公式が使えないどうか、合わせて検討してみましょう

求める直線は、２点A \((-4，8)\)、P\((-2，2)\) を通るので、傾きは、

\(\dfrac{2-8}{(-2)-(-4)}-3\)

したがって、求める直線は \(y=-3x+b\) と表すことができる。

この直線は、点A \((-4，8)\) を通るから、 \(y=-3x+b\) に \(x=-4，y=8\) を代入すると、
\(8=-3 \times (-4) +b\)

これを解くと、\(b=-4\)

よって、求める直線の式は \(y=-3x-4\)

・問題文にあてはまるように点や線分を書き加えます

・最初にPの \(y\) 座標を求めます

・２点の座標を用いて、グラフの傾きと切片を出します

\(t=1\)

まず、下のように点を書き加えます。

点Cは イと \(x\) 軸の交点、点Dは 点Aと \(x\) 座標が同じである \(x\) 軸上の点、点Eは 点Qと \(x\) 座標が同じである \(x\) 軸上の点、点P、Qは問題文にある通り、どちらも \(x\) 座標が \(t\) の点です。

また、それぞれの座標は以下の通りです。
点A：\((-4，8)\)
点B：\((2，2)\)
点C：\((4，0)\)
点D：\((-4，0)\)
点E：\((t，0)\)
点P：\((t，\dfrac{1}{2}t^2)\)
点Q：\((t，-t+4)\)

△ADCにおいて、
DC\(=\)OC\(+\)OD\(=4+4=8=\)AD
\(\angle\)ADC\(=90^{\circ}\)
だから、この三角形は斜辺をACとする直角二等辺三角形だといえます。

これより、AD：AC\(=1:\sqrt{2}\) なので、AC\(8\sqrt{2}\)

QC\(=\)AC\(-\)AQ\(=8\sqrt{2}-5\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

△ADCと△QECにおいて
\(\angle\)ADC\(= \angle\)QEC\(=90^{\circ} \cdots ①\)

また、AD//QE であり、平行線の同位角は等しいから、
\(\angle\)ADC\(= \angle\)QEC\(\cdots ②\)

①、②より２組の角がそれぞれ等しいから、△ADC \(\backsim\) △QECであり、△QECは直角二等辺三角形だと分かります。

これより、
EC：QC\(=1:\sqrt{2}\)
EC：\(3\sqrt{2}=1:\sqrt{2}\)
よって、EC\(=3\)

最終的に求めたい \(t\) は、OEと等しい値です。

OE\(=\)OC\(-\)EC\(=4-3=1\) より、\(t=1\) となります。

・考えやすいように、図に点を書き足します

・直角二等辺三角形の性質を利用して、辺の長さを求めます

\(t = 2- \sqrt{5}\)

最初に、下の図のように点を書き加えておきます。

BはQRを二等分する点だから、Rの座標は \((4-t，t)\) と表すことができます。

Sは、Rと \(x\) 座標が同じで、アのグラフ上の点なので、\(y=\dfrac{1}{2}(4-t)^2\) となります。

ここまで整理すると、下のようになります。
点P：\((t，\dfrac{1}{2}t^2)\)
点Q：\((t，-t+4)\)
点R：\((4-t，t)\)
点S：\((4-t，\dfrac{1}{2}(4-t)^2)\)

四角形PQRSは PQ//RS の台形なので、面積の公式「（（上底）\(+\)（下底））\(\times\)（高さ）\(\div\)２」を用いて考えることができます。

PQを上底、RSを下底、QRとRSの距離を高さとみて、それぞれの長さを求めます。

PQ\(=-t+4-(\dfrac{1}{2}t^2)=-\dfrac{1}{2}t^2-t+4\)
RS\(=\dfrac{1}{2}(4-t)^2-t = \dfrac{1}{2}(16-8t+t^2)-t=\dfrac{1}{2}t^2-5t+8\)
これより、
PQ\(+\)RS\(=(-\dfrac{1}{2}t^2-t+4)+(\dfrac{1}{2}t^2-5t+8)=-6t+12\)

また、高さは \(4-t-t=-2t+4\)

四角形PQRSの面積は \(30cm^{2}\) なので、ここまで求めた長さを公式に代入すると、

\(\begin{eqnarray}
(-6t+12) \times (-2t+4) \div 2 &=& 30 \\[5pt]
6(-t+2) \times 2(-t+2) &=& 60 \\[5pt]
12(-t+2)^2 &=& 60 \\[5pt]
(-t+2)^2 &=& 5 \\[5pt]
-t+2 &=& \pm \sqrt{5} \\[5pt]
t &=& 2 \pm \sqrt{5} \end{eqnarray}\)

\(t\) は \(2\) より小さいので、答えは \(t = 2- \sqrt{5}\)

・必要な点や線分を書き加えます

・文字を使って、それぞれの座標を表します

・面積を求める公式に分かっている数値をあてはめて、方程式を解きます