秋田県高校入試「数学」大問３の解答・解説です。
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大問３
A中学校の図書委員会は，全校生徒を対象として，ある日曜日の読書時間を調査した。次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
（１）
図１のア～エは，３年１組を含む４つの学級の読書時間のデータを，ヒストグラムに表したものである。例えば，アの10～20の階級では，読書時間が10分以上20分未満の生徒が１人いることを表している。４つの学級の生徒数は，すべて31人である。
３年１組のヒストグラムは，最頻値が中央値よりも小さくなる。３年１組のヒストグラムとして最も適切なものを，図１のア～エから１つ選んで記号を書きなさい。
図１
答え
イ
解き方
ア～エの中から、３年１組のヒストグラムを選ぶ問題です。
３年１組のヒストグラムの特徴として「最頻値が中央値よりも小さくなる」ことが挙げられているので、グラフそれぞれの最頻値と中央値を調べてみることにします。
まず、最頻値から求めてみましょう。
アから順に、最頻値は65、25、65、65です。
次に中央値ですが、どのグラフも31人のデータで構成されているので、小さい値（もしくは大きい値）から数えて16人目のデータが中央値になります。
これを踏まえると、アから順に、55、45、55、45ですね。
この中で、唯一（最頻値）＜（中央値）となっているヒストグラム（イ）が正解です。
今回は最頻値と中央値の両方を求めましたが、最頻値を求めるだけでも答えは出せそうです。最頻値をみると、イだけが他と比べて明らかに値が小さくなっています。
ポイント
・グラフから最頻値や中央値を正確に読み取ります
・データの代表値（最頻値・中央値・平均値など）の意味を理解しておく必要があります
（２）
次の表は，３年２組30人の読書時間のデータを，小さい順に並べたものである。このデータの範囲と第１四分位数をそれぞれ求めなさい。
３年２組の読書時間（単位 分）
答え
範囲…105分、第１四分位数…30分
解き方
最初に、データの範囲を求めます。
範囲は（最大値）ー（最小値）で計算できます。
３年２組の読書時間で最も長いのは110分、最も小さいのは５分なので、範囲は
110ー5＝105 (分)
次に、第１四分位数を求めていきましょう。
まずは、データの値の大きさで上位と下位の２つに分けます。
注目するのは下位15個のデータです。
この15個のデータの中央値、つまり、小さい値（もしくは大きい値）から数えて８つ目のデータが第１四分位数にあたります。
よって、第１四分位数は30(分) です。
ポイント
・範囲や第１四分位数の求め方を押さえておきます
・与えられた表に印をつけたり、囲みを入れたりすると、データが見やすくなります
（３）
３年１組，２組，３組で運動部に所属している生徒は，16人ずついる。図２は，３年１組の運動部の生徒をグループ１，３年２組の運動部の生徒をグループ２，３年３組の運動部の生徒をグループ３とし，それぞれの読書時間のデータを，箱ひげ図に表したものである。
図２
①
図２から読み取れることとして正しいものを，次のア～エからすべて選んで記号を書きなさい。
ア 読書時間が55分以下の生徒数が最も少ないグループは，グループ２である。
イ 読書時間が55分以上の生徒数が最も多いグループは，グループ３である。
ウ どのグループにも，読書時間が80分以上100分未満の生徒は必ずいる。
エ どのグループにも，読書時間が100分以上の生徒は必ずいる。
答え
ア、エ
解き方
箱ひげ図に表現されているのは、最小値・第１四分位数・第２四分位数（中央値）・第３四分位数・最大値の５つです。
このうち、第１四分位数は全体の25%、第２四分位数（中央値）は全体の50%、第３四分位数は全体の75%にあたる値を表す言葉です。
３つのグループとも16人なので、最小値から中央値までに８人、中央値から最大値までに８人のデータがあることが分かります。言い換えると、中央値を境に、下位８つと上位８つに分けられるということです。
また、下位８人のデータの中央値が第１四分位数、上位８人のデータの中央値が第３四分位数にあたります。
ここまでの話をまとめたのが下の図です。
これを踏まえた上で、選択肢を一つひとつ見ていきましょう。
ア 読書時間が55分以下の生徒数が最も少ないグループは，グループ２である。
ループ１では、中央値と第３四分位数の間に55分のめもりがあります。このことから、少なくとも８人の読書時間は55分以下だと分かります。
グループ２では、最小値と第１四分位数の間に55分のめもりがあります。このことから、多くて４人の読書時間は55分以下だと分かります。
グループ３では、グループ１と同様に中央値と第３四分位数の間に55分のめもりがあります。このことから、少なくとも８人の読書時間は55分以下だと分かります。
よって、読書時間が55分以下の生徒が最も少ないのはグループ２です。
イ 読書時間が55分以上の生徒数が最も多いグループは，グループ３である。
グループ１では、中央値と第３四分位数の間に55分のめもりがあります。このことから、少なくとも４人の読書時間は55分以上だと分かります。
グループ２では、最小値と第１四分位数の間に55分のめもりがあります。このことから、少なくとも12人の読書時間は55分以上だと分かります。
グループ３では、グループ１と同様に中央値と第３四分位数の間に55分のめもりがあります。このことから、少なくとも４人の読書時間は55分以上だと分かります。
よって、読書時間が55分以上の生徒が最も多いのはグループ２です。
ウ どのグループにも，読書時間が80分以上100分未満の生徒は必ずいる。
グループ１は、第３四分位数と最大値の間に上の範囲があります。箱ひげ図から、第３四分位数を65分、最大値を110分と読み取って考えてみることにしましょう。
この範囲には４人の生徒がいますが、うち一人の読書時間は最大値の110分です。ここで、他の３人の読書時間が65分・70分・75分だとすると、先ほどの条件を満たします。
しかし、これは「どのグループにも、読書時間が80分以上100分未満の生徒は必ずいる」ことには反するので、ウは正しくないことが分かります。
エ どのグループにも，読書時間が100分以上の生徒は必ずいる。
それぞれのグループの最大値に注目してみます。
アは110分、イは105分、ウは110分と読み取れるので、どのグループにも読書時間が100分以上の生徒が必ずいると分かります。
ポイント
・四分位数の意味と、箱ひげ図との関係性を理解しておきます
②
図２において，読書時間のデータの散らばりぐあいが最も大きいグループを，次のア～ウから１つ選んで記号を書きなさい。また，そのように判断した理由を，「範囲」と「四分位範囲」という両方の語句を用いて書きなさい。
ア グループ１ イ グループ２ ウ グループ３
答え
記号：ア
理由：範囲と四分位範囲が、ともに最も大きいから。
解き方
データの散らばりぐあいは、範囲や四分位範囲を求めることで分かります。
範囲は（最大値）ー（最小値）、四分位範囲は（第３四分位数）ー（第１四分位数）で求めることができます。
ここで、それぞれのグループの最小値・第１四分位数・第３四分位数・最大値を順によみとっていくと、
グループ１は、順に10分・25分・65分・110分
グループ２は、順に10分・57.5分・82.5分・105分
グループ３は、順に15分・40分・57.5分・110分
ここから、それぞれの範囲と四分位範囲を求めると、
グループ１は、110-10=100(分) と 65-25=40(分)
グループ２は、105-10=95(分) と 85.5-57.5=25(分)
グループ３は、110-15=95(分) と 57.5-40=17.5(分)
範囲と四分位範囲が大きいほど、散らばりぐあいも大きくなるので、答えはグループ１。
ポイント
・指定された言葉を必ず使って、選択肢を選んだ理由を書きます
・データの散らばりは、範囲と四分位範囲に注目して考えます
