【数学】秋田県高校入試の大問2を徹底解説！【2022年度】

秋田県高校入試「数学」大問２の解答・解説です。

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【数学】秋田県高校入試の概要をみてみよう！【2022年度】

2022年度の秋田県高校入試「数学」の解説です。

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令和５年度秋田県公立高等学校入学者選抜　学力検査問題　数学

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大問２

大問２

（１）

駅から \(3600 \ m\) 離れた図書館まで，まっすぐで平らな道がある。健司さんは，午前10時に駅を出発し，毎分 \(60 \ m\) の速さで図書館に歩いて向かった。駅から \(1800 \ m\) 離れた地点で立ち止まって休憩し，休憩後は毎分 \(120 \ m\) の速さで図書館に走って向かい，午前10時50分に図書館に着いた。次の図は，健司さんが駅を出発してから \(x\) 分後に，駅から \(y \ m\) 離れた地点にいるとして，\(x\) と \(y\) の関係を表したグラフの一部である。

①

健司さんが駅から \(1800 \ m\) 離れた地点で休憩を始めてから，図書館に着くまでの \(x\) と \(y\) の関係を表したグラフを，図にかき加えなさい。

答え

解き方

駅から図書館までの距離は \(3600 \ m\) で、健司さんが休憩した場所は駅から \(1800 \ m\) 離れた地点にあるから、健司さんが休憩した場所から駅までの距離は、\(3600-1800=1800 (m)\) です。

健司さんは、この距離を毎分 \(120 \ m\) の速さで走って進んだので、かかる時間は、\(1800 (m) \div 120(m/分)=15(分)\) 。

健司さんは、午前10時50分に図書館に着き、休憩場所から図書館まで \(15\) 分かかったことから、午前10時35分に休憩場所を発ったことが分かります。

これは、グラフでは \((x，y)=(35，1800)\) の点にあたりますね。

与えられたグラフの \((x，y)=(35，1800)\) 、そして \((x，y)=(50，3600)\) に点を打ち直線で結ぶと、図が完成します。

ポイント

・傾きや切片を求めて、グラフの式をつくります

・複数のグラフの交点の座標は、連立方程式を解くことで求められます

②

健司さんの姉の美咲さんは，健司さんが駅を出発した時刻と同じ時刻に，自転車に乗って図書館を出発し，毎分 \(240 \ m\) の速さで駅に向かっていたところ，歩いて図書館に向かう健司さんと出会った。美咲さんと健司さんが出会ったときの時刻を求めなさい。

答え

10時12分

解き方

美咲さんが、図書館から駅に向かったときの \(x\) と \(y\) の関係をグラフに表してみます。

図書館から駅までの距離は問題文より \(3600 \ m\)、美咲さんは毎分 \(240 \ m\) で進んだから、かかった時間は
\(3600(m) \div 240(m/分)=15(分)\)

これより、美咲さんのグラフは \((x，y)=(0，3600)， (15，0)\) を通ることが分かります。
先ほどのグラフに書き加えると、下のようになりますね。

健司さんのグラフと交わっているところ（交点Aと置きます）、ここが健司さんと美咲さんが出会う地点です。最終的に求めたい「美咲さんと健司さんが出会ったときの時刻」は、この交点の \(x\) 座標から求めることができます。

では、交点Aを有する健司さんと美咲さんのグラフ、それぞれを式に表してみましょう。

健司さんのグラフから考えてみます。毎分 \(60 \ m\) の速さで図書館に歩いて向かったとあるので、傾きは \(60\) と分かります。また、グラフは原点を通る比例のグラフだから、式は \(y=60x\) と表されます。

同じように、美咲さんは毎分 \(240 \ m\) で健司さんと逆向きに進んでいるので、傾きは \(-240\)。切片は \(3600\) だから、式は \(y=-240x+3600\) と表されます。

この交点Aは、２つの式を連立方程式にして解くことで求めることができます。

２つの式より、
\(60x = -240x+3600\)
これを解いて、
\(\begin{eqnarray}
60x+240x &=& 3600 \\[5pt]
300x &=& 3600 \\[5pt]
x &=& 12 \end{eqnarray}\)

これで二人が出会うのは、健司さんが家を出てから \(12\) 分後と分かります。

よって、求める時刻は10時12分となります。

ポイント

・割り算から先に計算します

・マイナスを含む計算なので注意が必要です

（２）

次の図のように，袋Ａには整数１，２，３が１つずつ書かれた３枚のカードが，袋Ｂには整数４，５，６が１つずつ書かれた３枚のカードが入っている。このとき，下の①，②の問いに答えなさい。

①

袋Ａ，袋Ｂからそれぞれカードを１枚ずつ取り出し，取り出されたカードに書かれている数の積を求める。このとき，積が奇数になる確率を求めなさい。ただし，袋Ａからどのカードが取り出されることも，袋Ｂからどのカードが取り出されることも，それぞれ同様に確からしいものとする。

答え

\(\dfrac{2}{9}\)

解き方

袋A、Bそれぞれから取る数の組み合わせと、取った数の積をまとめると、下のようになります。

今回求めたいのは積が奇数になる確率なので、先ほどの図の中で積が奇数のものに印をつけてみます。

数の組み合わせは９通りある中で、積が奇数になるものは２通りと分かるので、求める確率は \(\dfrac{2}{9}\) です。

ポイント

・図や樹形図を書いて、全体で何通りの数の組み合わせがあるかを調べます

・積が奇数になるものを探してから確率を求めます

②

袋Ａ，袋Ｂに入っているカードとは別に，整数７が書かれているカードが６枚ある。袋Ｂに，整数７が書かれているカードを何枚か追加し，袋Ａ，追加したカードが入っている袋Ｂからそれぞれカードを１枚ずつ取り出し，取り出されたカードに書かれている数の積を求める。積が奇数になる確率と積が偶数になる確率が等しいとき，追加したカードは何枚か，求めなさい。ただし，袋Ａからどのカードが取り出されることも，追加したカードが入っている袋Ｂからどのカードが取り出されることも，それぞれ同様に確からしいものとする。

答え

５枚

解き方

問題のイメージ図は、下の通りです。